Группы и их представления с примерами применения.

Opis książki

Celem podręcznika jest dokonanie przeglądu podstawowych pojęć teorii grup i reprezentacji grup w takim zakresie, by można było dokładniej omówić pojęcia bardziej zaawansowane, takie jak algebry Clifforda i spinory.

Książka adresowana jest przede wszystkim do studentów matematyki i fizyki, ale także do wszystkich zainteresowanych powiązaniami tych dwóch dziedzin nauki

Przedmowa 9

I. Wstępne wiadomości z algebry 11

1. Grupy, pierścienie, ciała i moduły 11

2. Algebry 36

Zadania 58

II. Grupy: ważne konstrukcje i przykłady 61

1. Generatory i relacje 61

2. Grupy nilpotentne i rozwiązalne 62

3. Grupy z dodatkową strukturą 63

4. Grupy przekształceń 64

5. Ciągi dokładne i rozszerzenia grup 70

6. Skończone grupy obrotów 72

7. Grupy SL(2,C) i SU(2) 75

Zadania 80

III. Reprezentacje grup i algebr: podstawowe pojęcia 86

1. Wstęp; lematy Schura 86

2. Definicje i przykłady 90

3. Charakter reprezentacji 95

4. Działania na reprezentacjach 96

5. Rachunek tensorowy jako dział teorii reprezentacji 99

Zadania 102

IV. Reprezentacje grup skończonych 104

1. Przykłady reprezentacji 104

2. Uśrednianie na grupie 105

3. Reprezentacja regularna 105

4. Relacje ortogonalności 106

5. Twierdzenia o wymiarze 110

6. Tablice charakterów 112

7. Twierdzenie Frobeniusa--Schura 114

8. Ograniczanie reprezentacji i reprezentacje indukowane 115

9. Algebra grupowa i tablice Younga 116

Zadania 122

V. Rozmaitości gładkie i pola wektorowe 125

1. Mapy i atlasy 125

2. Rozmaitości gładkie 126

3. Rozmaitości zespolone 128

4. Pola wektorowe 12

5. Wiązki włókniste 132

6. Formy różniczkowe i całkowanie 134

7. Algebra Cartana 137

8. Kohomologie de Rhama 139

Zadania 140

VI. Grupy Liego 141

1. Algebra Liego grupy Liego 141

2. Odwzorowanie wykładnicze 142

3. Algebra Liego grupy GL(V) 143

4. Morfizmy grup Liego 144

5. Reprezentacja dołączona grupy i algebry Liego 145

6. Forma i równanie Maurera-Cartana 148

7. Zastosowanie: podstawy teorii pól z cechowaniem 149

8. Podstawowe twierdzenie o grupach Liego 152

9. Całki niezmiennicze na grupach Liego 153

10. Działanie grupy Liego na rozmaitości 154

11. Wiązki główne i stowarzyszone 155

12. Grupy zwarte 165

Zadania 167

VII. Algebry Liego 169

1. Automorfizmy i różniczkowania algebr Liego 170

2. Formy niezmiennicze na algebrach Liego 170

3. Lista prostych, zwartych i jednospójnych grup Liego 176

4. Operator Casimira 177

5. Algebra obwiednia algebry Liego 178

6. Realifikacja a forma rzeczywista algebr Liego 179

7. Reprezentacje algebry Liego sl(2,C) 180

8. Reprezentacje grupy SL(2,C) 184

9. Reprezentacje grup SU(2) i SO(3) 184

Zadania 186

VIII. Algebry Clifforda, grupy Spin i spinory 18

1. Wstęp: spinory u Euklidesa 187

2. O równaniu Diraca 188

3. Algebry Clifforda: podstawy 18

4. Struktura algebr Clifforda 19

5. Grupy spinorowe 212

6. Algebra spinorów 217

7. Spinory na rozmaitościach: struktury spin 219

8. Twistory 220

Zadania 232

IX. Półproste algebry Liego 236

1. Wstęp: pierwsza orientacja 236

2. Struktura półprostych algebr Liego 242

3. Normalizacja Chevalleya i formy rzeczywiste 250

4. Reprezentacje półprostych algebr Liego 253

5. Reprezentacje klasycznych algebr Liego 256

6. Diagramy Dynkina i wymiary algebr E, F, G 265

X. Przykłady zastosowania teorii grup w fizyce 266

1. Geometria mechaniki klasycznej 267

2. Nierelatywistyczna mechanika kwantowa jednej cząstki 275

Zadania 280

Bibliografia 281

Często używane oznaczenia 289

Skorowidz 292