Лекции по алгебраической геометрии

Opis książki

Celem podręcznika jest zaznajomienie czytelnika z podstawowymi pojęciami geometrii algebraicznej. Może on służyć zarówno jako kompendium podstawowej wiedzy z tego przedmiotu, użyteczne dla każdego matematyka, jak i wstęp do dalszych studiów. Geometria algebraiczna to dziedzina matematyki, której XIX-wieczna, klasyczna wersja dotyczy badania zbiorów rozwiązań równań wielomianowych. Współczesna geometria algebraiczna posługuje się metodami współczesnej algebry, zwłaszcza algebry przemiennej, wykorzystując przy tym język geometrii i topologii, a także metody analizy zespolonej i teorii liczb. Przedstawiony tu wykład prowadzony jest w duchu znanej książki Szafarewicza i może być traktowany jako przygotowanie do systematycznej lektury tej książki. Książka adresowana jest przede wszystkim do studentów matematyki i fizyki, ale także do wszystkich zainteresowanych tą nadal szybko rozwijającą się dziedziną o ponad dwustuletniej już historii.

Spis treści

Przedmowa 9

1. Afiniczne zbiory algebraiczne 11

1.1. Definicja zbiorów afinicznych 11

1.2. Twierdzenie Hilberta o bazie 16

1.3. Twierdzenie Hilberta o zerach 17

1.3.1. Sformułowania twierdzenia Hilberta o zerach 17

1.3.2. Elementy i rozszerzenia całkowite 18

1.3.3. Dowody twierdzenia Hilberta o zerach 19

1.4. Ideał podzbioru afinicznego 19

1.5. Topologia Zariskiego 21

1.6. Pierścień funkcji regularnych i jego spektrum 23

1.7. Zbiory nierozkładalne 25

1.8. Funkcje wymierne 29

1.9. Snop funkcji regularnych 32

1.10. Morfizmy zbiorów afinicznych 33

1.11. Iloczyny zbiorów afinicznych 37

1.12. Twierdzenie Chevalleya o obrazie 40

1.13. Przekształcenia wymierne 43

1.14. Przestrzenie ze snopami funkcji 46

1.15. Podzbiory analityczne przestrzeni zespolonych 48

1.16. Snopy, schematy afiniczne 49

Zadania 55

2. Rzutowe zbiory algebraiczne 57

2.1. Definicja zbiorów rzutowych 57

2.2. Algebry z gradacją 59

2.3. Własności zbiorów rzutowych 60

2.4. Funkcje wymierne na zbiorach rzutowych 61

2.5. Morfizmy zbiorów rzutowych 62

2.6. Iloczyny zbiorów rzutowych 63

2.7. Zbiory rzutowe a zbiory afiniczne 64

2.8. Algebra z gradacją zbioru rzutowego 66

Zadania 67

3. Ogólne zbiory algebraiczne 69

3.1. Definicja ogólnych zbiorów algebraicznych i ich morfizmów 69

3.2. Podstawowe własności zbiorów algebraicznych 72

3.3. Schematy 73

3.4. Własności morfizmów 75

3.4.1. Morfizmy afiniczne 76

3.4.2. Morfizmy skończone 76

3.4.3. Morfizmy właściwe 77

3.4.4. Morfizmy płaskie 78

3.5. Problemy i metody geometrii algebraicznej 80

3.5.1. Metody algebraiczne 81

3.5.2. Metody topologiczne i analityczne 81

3.5.3. Metody arytmetyczne 83

3.6. Przekształcenia wymierne w przestrzenie rzutowe 85

Zadania 89

4. Grupy algebraiczne 91

4.1. Definicja grupy algebraicznej 91

4.2. Afiniczne grupy algebraiczne 94

4.3. Algebry Hopfa 96

4.4. Działania grup na zbiorach algebraicznych 97

Zadania 99

5. Przykłady konstrukcji zbiorów algebraicznych 101

5.1. Grassmanniany 101

5.2. Zanurzenia torusa 104

5.3. Zbiory warstw podgrupy grupy algebraicznej 107

Zadania 110

6. Wymiar zbiorów algebraicznych 111

6.1. Własności stopni przestępnych 111

6.2. Definicja wymiaru 112

6.3. Własności wymiaru 113

6.4. Wymiar Krulla 117

Zadania 117

7. Teoria lokalna 120

7.1. Pierścienie lokalne 121

7.2. Topologia adyczna 122

7.3. Przestrzeń kostyczna, różniczka funkcji 123

7.4. Przestrzeń styczna 124

7.5. Pierścienie regularne i normalne 128

7.6. Punkty gładkie 130

7.7. Układy parametrów 131

7.8. Formy różniczkowe i pola styczne 135

7.9. Różniczki Kählera 136

Zadania 138

8. Zbiory gładkie i zbiory normalne 140

8.1. Przykłady zbiorów gładkich 140

8.2. Pierścienie Dedekinda 142

8.3. Grupa klas ideałów pierścienia Dedekinda 144

8.4. Waluacje 146

8.5. Rozszerzenia całkowite pierścieni Dedekinda 149

8.6. Zbiory normalne i normalizacja 151

8.7. Rozdmuchania i ściągnięcia 154

8.8. Desingularyzacja, modele 158

8.9. Formy różniczkowe na zbiorach algebraicznych 159

8.10. Genus geometryczny zbioru gładkiego 165

Zadania 168

9. Wiązki wektorowe i dywizory 171

9.1. Definicja wiązek wektorowych 171

9.2. Snop przekrojów wiązki wektorowej 173

9.3. Konstrukcje wiązek wektorowych 174

9.4. Wiązka styczna i kostyczna 177

9.5. Dywizory Cartiera 178

9.6. Dywizory Weila 179

9.7. Dywizory na zbiorach gładkich 182

9.8. Przekształcenie wymierne wyznaczone przez dywizor 184

9.9. Dywizory na krzywych gładkich 186

10. Snopy i kohomologie 189

10.1. Snopy koherentne 189

10.2. Snopy grup 193

10.3. Snopy ilorazowe 196

10.4. Ciągi dokładne snopów 199

10.5. Snopy koherentne w geometrii analitycznej 203

10.6. Geometria formalna 207

10.7. Aksjomaty teorii kohomologii 209

10.8. Konstrukcja Čecha 211

10.9. Twierdzenie Riemanna--Rocha dla krzywych 213

10.10. Powierzchnie Riemanna 219

10.11. Teoria przecięć 220

Zadania 225