ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ И ХРАНЕНИЯ ПРИРОДНОГО ГАЗА В АСПЕКТЕ ИЗМЕНЕНИЙ

Format: B5

Wydział: Wiertnictwo

Analiza funkcjonalna, która bardzo dynamicznie rozwija się od początku XX wieku, znajduje zastosowanie w innych dziedzinach nauki szczególnie w fizyce i naukach technicznych. Metody analizy funkcjonalnej stosowane są do opisu zjawisk w mechanice kwantowej, w teorii sterowania, w teorii optymalizacji i innych. Książka podzielona jest na trzy rozdziały. W rozdziale pierwszym podano pojęcia z zakresu topologii, przestrzeni metrycznych i struktur algebraicznych. Są one potrzebne do zrozumienia treści kolejnych rozdziałów. Rozważania rozdziału drugiego dotyczą przestrzeni Banacha. Wprowadzono w nim pojęcie normy i przestrzeni unormowanej oraz przestrzeni Banacha. Podano przykłady przestrzeni Banacha i najważniejsze twierdzenia wraz ze szczegółowymi dowodami. W rozdziale trzecim wprowadzono pojęcie iloczynu skalarnego, przestrzeni unitarnej i Hilberta. Dość dokładnie omówiono rzut prostopadły, teorię szeregów ortogonalnych, teorię operatorów sprzężonych. Przedstawiono wraz z dowodami podstawowe twierdzenia dotyczące przestrzeni Hilberta. Zakres materiału zaprezentowany w podręczniku wykracza poza program matematyki dla studentów studiów magisterskich na kierunkach technicznych i może być pomocny doktorantom tych dyscyplin naukowych, które w swoich badaniach wykorzystują aparat analizy funkcjonalnej. Podręcznik został skonstruowany w taki sposób, aby możliwe było samodzielne studiowanie. Zamysłem autora było bardzo szczegółowe przedstawienie dowodów wszystkich twierdzeń, również tych prostych, aby nie było konieczności poszukiwania dowodów w innych źródłach. Autor starał się posługiwać stwierdzeniami zrozumiałymi również dla osób, które nie mają ukończonych studiów matematycznych, a są zainteresowane poszerzeniem swojej wiedzy w tym zakresie.

Spis treści:

Słowo wstępne . . 7

Wykaz symboli .  9

1. Pojęcia wstępne .. 13

1.1. Przestrzeń topologiczna . .13

1.2. Przestrzeń metryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Struktury algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.1. Działania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.2. Półgrupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.3. Grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.4. Pierścień . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.5. Ciało . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.6. Przestrzeń wektorowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.7. Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.8. Izomorfizm struktur algebraicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4. Przestrzeń liniowo-topologiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5. Pochodna słaba (uogólniona) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Przestrzeń Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1. Przestrzeń unormowana i algebra unormowana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Szeregi w przestrzeniach unormowanych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3. Przykłady przestrzeni Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.1. Przestrzeń funkcji ciągłych na przedziale [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.2. Przestrzeń ℓp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.3. Przestrzeń Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4. Operacje liniowe w przestrzeniach Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4.1. Odwzorowanie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4.2. Odwzorowanie liniowe ograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4.3. Przykłady odwzorowań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5. Operatory liniowe w przestrzeni B(X,Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.5.1. Twierdzenie Banacha–Steinhausa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.5.2. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym . . . . . . . . . . . . . 67

2.5.3. Twierdzenie Banacha o izomorfizmie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5.4. Twierdzenie Banacha o wykresie domkniętym . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.5.5. Twierdzenie o obrazie domkniętym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.6. Operatory domknięte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.6.1. Przykłady operatorów domkniętych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.7. Przestrzeń sprzężona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.8. Zbieżność w przestrzeni Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.9. Twierdzenie o zanurzeniu przestrzeni unormowanej w przestrzeni Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.10. Twierdzenie Banacha o rozszerzeniu odwzorowania jednostajnie ciągłego . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.11. Twierdzenie Hahna–Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.12. Algebra Banacha operatorów liniowych ograniczonych . . . . . . . . . . . . . . 94

2.13. Rezolwenta i widmo operatora liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.13.1. Wartości własne i wektory własne – przykłady . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.14. Operatory zwarte w przestrzeni Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3. Przestrzeń Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.1. Iloczyn skalarny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.2. Wzór polaryzacyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.3. Rzut prostopadły – część 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.4. Szeregi ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.5. Funkcjonały w przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.6. Operatory sprzężone w przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.6.1. Przykład operatora sprzężonego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.6.2. Własności operatorów sprzężonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

3.6.3. Dekompozycja (rozkład) przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . 160

3.7. Klasyfikacja operatorów w przestrzeni Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3.7.1. Operator normalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3.7.2. Podprzestrzeń niezmiennicza i redukująca . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.7.3. Operator unitarny hirudina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

3.7.4. Operator symetryczny i samosprzężony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

3.7.5. Przykłady operatorów symetrycznych i samosprzężonych . . . . . . . . 173

3.8. Rzut prostopadły – część 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

3.8.1. Własności rzutu prostopadłego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

3.9. Twierdzenie spektralne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183