Интегральное исчисление в упражнениях

Rachunek całkowy w zadaniach

Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej

Autorzy: Beger Danuta,  Dymkowska Jolanta

Niniejszy podręcznik stanowi pomoc dla studentów zarówno w ćwiczeniu umiejętności całkowania, jak i w samodzielnym zgłębianiu tej tematyki. Książka, która przekazujemy do rak czytelników, zawiera około tysiąca rozwiązanych ćwiczeń oraz zadań do samodzielnego rozwiązania, w tym również zadania z zastosowań rachunku całkowego. Ze względu na obszerność tematyki zastosowań rachunku całkowego w innych dziedzinach postanowiłyśmy ograniczyć je tylko do klasycznych zastosowań w mechanice. Każdy rozdział zawiera podstawy teoretyczne zilustrowane przykładami i jest zakończony dużą liczbą zadań do samodzielnego rozwiązania.

Zróżnicowanie stopnia trudności zadań umożliwia korzystanie z podręcznika studentom różnych kierunków studiów i o różnym stopniu zaawansowania wiedzy w tym zakresie.

Spis treści

Przedmowa 7

1. Całka nieoznaczona 9

1.1. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona . . . 9

1.2. Własności całki nieoznaczonej . . .. 13

1.3. Całkowanie przez podstawianie . . .. 14

1.4. Całkowanie przez części . . . . 16

1.5. Całkowanie funkcji wymiernych . . . 20

Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste . .  20

Całkowanie ułamków prostych . . .  22

Całkowanie funkcji wymiernych . .. 24

1.6. Całkowanie funkcji trygonometrycznych . . . 26

1.7. Całkowanie funkcji niewymiernych . .  28

Całki z funkcji zawierających pierwiastki z wyrażenia liniowego . . .  28

Całki z funkcji zawierających pierwiastek kwadratowy z trójmianu . .. 29

Metoda współczynników nieoznaczonych . .. 33

1.8. Zadania do samodzielnego rozwiązania . . . 36

2. Całka oznaczona 47

2.1. Definicja Riemanna całki oznaczonej . . . . 47

2.2. Własności całki oznaczonej . . .  . 51

2.3. Obliczanie całki oznaczonej . .  55

Związek całki oznaczonej z całką nieoznaczoną . . . 55

Twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie i przez części . . . 57

2.4. Całki niewłaściwe . . . 59

Całka oznaczona w przedziale nieskończonym . . . 59

Całka funkcji nieograniczonej . . . 62

2.5. Zastosowania geometryczne całki oznaczonej . . . 67

Pole obszaru płaskiego . .. 67

Długość łuku . . .. 79

Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej . . . 82

2.6. Przykłady różnych zastosowań całki oznaczonej . .. 88

Zastosowania całki oznaczonej w mechanice . . . . 88

Zastosowania całki oznaczonej w fizyce . .  91

Zastosowania całki oznaczonej w chemii . .. 94

Zastosowania całki oznaczonej w ekonomii . . . 97

2.7. Zadania do samodzielnego rozwiązania . . .  100

3. Całka podwójna 113

3.1. Całka podwójna i jej własności . .. . 113

Obliczanie całki podwójnej po prostokącie . .119

Obliczanie całki podwójnej po obszarze normalnym . . . 120

3.2. Zamiana zmiennych w całce podwójnej . . 128

Współrzędne biegunowe . .. 131

Współrzędne eliptyczne . . . 136

3.3. Zastosowania geometryczne całki podwójnej . . . 139

Pole obszaru płaskiego . . . 139

Objętość bryły . . . 143

Pole płata . . . . 148

3.4. Zastosowania całki podwójnej w mechanice . . 150

3.5. Zadania do samodzielnego rozwiązania . 154

4. Całka potrójna 163

4.1. Całka potrójna i jej własności . . .. 163

Obliczanie całki potrójnej po prostopadłościanie . . . 168

Obliczanie całki potrójnej po obszarze normalnym . .170

4.2. Zamiana zmiennych w całce potrójnej .  173

Współrzędne walcowe . .  174

Współrzędne sferyczne . . 180

4.3. Zastosowania geometryczne całki potrójnej . . 186

4.4. Zastosowania całki potrójnej w mechanice . . 192

4.5. Zadania do samodzielnego rozwiązania . . . 199

Odpowiedzi do zadań 205

Bibliografia 227