Джон Х. Конвей, Ричард К. Гай: Книга чисел

John H. Conway, Richard K. Guy: Księga liczb

Stan dobry. Zauważone defekty:

• drobne uszkodzenia okładki

Z przedmowy

„[…] chcemy przedstawić dociekliwemu Czytelnikowi bez szczególnego przygotowania matematycznego mnogość sposobów rozumienia słowa »liczba«. Staramy się unikać formalnego stylu właściwego podręcznikom i programom akademickim. Jednocześnie zależy nam na tym, żeby również zawodowy matematyk znalazł tu interesujące wiadomości spoza swojej specjalności i dzięki temu wzbogacił swoje wykłady.

Użycie słowa »liczba« może być bardzo różnorodne. My w naszej książce możemy wyróżnić co najmniej trzy odrębne wątki. Pierwszy wiąże się z rozwojem pojęcia liczby (pisanej zwykle w liczbie pojedynczej), nieustannie uogólnianego i dostosowywanego do potrzeb zarówno matematyki, jak i jej wielorakich zastosowań. Mamy więc liczebniki, zero, ułamki, liczby ujemne, niewymierne pierwiastki równań kwadratowych, liczby algebraiczne, przestępne, nieskończenie małe i pozaskończone, nadrzeczywiste i zespolone, kwaterniony, oktawy.

Drugi wątek dotyczy odrębnej dziedziny badań poświęconych liczbom całkowitym — wyższej arytmetyki Gaussa, czyli teorii liczb (tym razem zazwyczaj w liczbie mnogiej), pokrywającej się w części z młodszą od niej kombinatoryką enumeratywną. Pojawiają się tu szczególne zbiory lub ciągi liczb: liczby pierwsze, liczby Mersenne’a i Fermata, liczby doskonałe, liczby Fibonacciego i Catalana, Eulera i eulerowskie czy Bernoulliego.

Wreszcie trzeci wątek to omówienie całej plejady liczb wyjątkowych, a zatem liczby π Ludolfa, liczby e Napiera (Nepera), liczby γ Eulera, stałej Feigenbauma, liczb algebraicznych pojawiających się w określonych kontekstach, poczynając od długości przekątnej kwadratu lub pięciokąta foremnego, a kończąc na liczbie stopnia 71, powstałej z pozornie prostego ciągu »do odgadnięcia«.

Matematyka jest tradycyjnie przedstawiana w postaci logicznych sekwencji, ale umysł ludzki, jak się wydaje, działa inaczej. Czytelnik może wertować stronice tej książki, wybierając interesujące go informacje, bez obowiązku czytania od deski do deski. Musimy jednak uprzedzić, że znajomość wcześniejszych rozdziałów może być przydatna przy czytaniu późniejszych.

Rozdział 1 poświęcamy liczebnikom i wyrazom etymologicznie z nimi powiązanym. W rozdziale 2 pokazujemy, jak wiele elementarnych, choć ważnych faktów można odkryć »bez stosowania matematyki«. W rozdziałach 3 i 4 przedstawiamy różne zbiory liczb całkowitych, występujących w bardzo różnorodnych kontekstach, a rozdział 5 poświęcamy »iloczynowym cegiełkom«, czyli liczbom pierwszym. O ułamkach, tj. liczbach algebraicznych pierwszego stopnia, mówimy w rozdziale 6, a o liczbach algebraicznych wyższych stopni — w rozdziale 7. W rozdziałach 8 i 9 opisujemy liczby zwane »zespolonymi« i »przestępnymi«. W ostatnim rozdziale wybiegamy w nieskończoność. Przyglądamy się wielkościom nieskończenie małym, poznajemy liczby nadrzeczywiste, stanowiące ogromną, a jednocześnie nieskończenie małą podklasę zbioru wartości gier kombinatorycznych, które pojawiły się całkiem niedawno jako kolejne rozwinięcie pojęcia liczby.”

— John H. Conway i Richard K. Guy

O autorach

„John Horton Conway jest profesorem matematyki (John von Neumann Professor of Mathematics) na Princeton University, autorem licznych publikacji, wynalazcą gry »Life«. Napisał między innymi książki »On Numbers and Games« i »Sphere Packing, Lattices and Groups« (z N.J.A. Sloanem).

Richard K. Guy ma tytuł profesora honorowego (professor emeritus) matematyki na University of Calgary. Jest autorem ponad 200 publikacji naukowych i 10 książek. Zasłynął zwłaszcza ze swoich omówień rozwiązanych i nie rozwiązanych problemów matematycznych.

Conway i Guy współpracowali już wcześniej. Są współautorami (z E.R. Berlekampem) bestsellerowej książki »Winning Ways (For Your Mathematical Plays)«. Przedstawili w niej po raz pierwszy teorię, na której są oparte gry — od najprostszych rozrywek logicznych i matematycznych, do których wystarczy kartka papieru i ołówek, po takie gry jak »Go«, stanowiące od stuleci nieustanne wyzwanie.”

Z okładki

„Świat liczb jest piękny i intrygujący. Jeśli chcesz go poznać, sięgnij po tę książkę. Może Ciebie też on zauroczy?

Autorzy tej książki to dwaj słynni matematycy. John Conway jest mistrzem gier matematycznych i efektownych opisów, a Richard Guy — encyklopedystą, wciąż poszukującym nie rozwiązanych problemów. W książce tej dzielą się z Czytelnikiem swoimi spostrzeżeniami na temat liczb. Podejmują trud wykazania, dlaczego liczby i ich własności od wieków budziły tak wielkie zainteresowanie zarówno matematyków, jak i laików. Opowiadają o liczbach, z jakimi możemy się zetknąć, ale też o takich, o jakich prawdopodobnie nigdy byśmy nie usłyszeli. Chcą — jak mówią — przedstawić mnogość sposobów rozumienia słowa »liczba«. Opisują klasy liczb przewijające się w arytmetyce, algebrze i geometrii. Wskazują na ich znaczenie w matematyce i poza nią. Wprowadzają Czytelnika w tajniki liczb przestępnych, zespolonych i nadrzeczywistych.

To doprawdy jedyna w swoim rodzaju książka, będąca doskonałym przykładem popularyzacji matematyki. Fakty dotyczące liczb i ciekawostki na ich temat zostały podane w sposób, w jaki potrafią to zrobić tylko CI dwaj znakomici, obdarzeni wyjątkowym talentem matematycy.”

Spis treści

Rozdział 1. Świat pełen liczb

• Liczby i język
• Ene, due, like, fake
• Miliony, biliony i inne liony
• Jak zapisuje się liczby
• Rodzaje liczb
• Nasi wyjątkowi przyjaciele
• Bibliografia

Rozdział 2. Liczby z figur: arytmetyka i algebra — przez geometrię

• Kolorowe dowody
• Odrzucanie dziewiątek
• Kolory i wzory
• Liczby kwadratowe
• Liczby trójkątne
• Liczby wielokątne
• Trzeci wymiar
• Liczby czworościenne
• Kwadratowe liczby piramidalne
• Liczby ośmiościenne
• Liczby dwunastościenne rombowe
• Wyginanie następnych liczb splecionych
• Czwarty wymiar
• Pewne bardzo duże liczby
• Bibliografia

Rozdział 3. Co dalej?

• Czary Moessnera
• Silnie
• Liczby ustawień
• Liczby wyborów
• Trójkąt Pascala
• Liczby wyborów z powtórzeniami
• Liczby wyborów są współczynnikami dwumianowymi
• Fryzy
• Ile jest obszarów?
• Odgadywanie kolejnego wyrazu ciągu
• Bibliografia

Rozdział 4. Słynne rodziny liczb

• Liczby Bella i liczby Stirlinga
• Liczby podziałów i układów; liczby Ramanujana
• Garść zadań
• Liczby Catalana
• Wzór Faulhabera
• Liczby Bernoulliego
• Liczby Eulera i zygzaki
• Liczby Fibonacciego
• Filotaksja, czyli ulistnienie
• Dokąd pędzisz, pączku?
• Bibliografia

Rozdział 5. Pierwszeństwo liczb pierwszych

• Arytmetyka modulo p
• Czy można rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze na kilka sposobów?
• Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele!
• Liczby Mersenne’a
• Liczby doskonałe
• Liczby Fermata
• Kryterium Fermata dla liczb pierwszych
• Jak gęsto są rozmieszczone liczby pierwsze?
• Jak dokładne są znane oszacowania?
• Które liczby są sumami dwóch kwadratów?
• Czternaście pożytecznych ułamków
• Bibliografia

Rozdział 6. Przydatność ułamków

• Ułamki Fareya i koła Forda
• Funkcja Eulera
• Okresowe rozwinięcia ułamków
• Tasowanie
• Twierdzenie Wilsona
• Długie liczby pierwsze
• Ułamki pitagorejskie
• Babilońska tablica ułamków pitagorejskich
• Ułamki łańcuchowe
• Bibliografia

Rozdział 7. Zadania geometryczne i liczby algebraiczne

• Ułamki łańcuchowe dla liczb niewymiernych
• Liczby Lagrange’a, liczby Markowa i liczba Freimana
• Liczby algebraiczne
• Trzy greckie problemy
• Konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki
• Jak zagadnienia geometryczne prowadzą do liczb algebraicznych
• Naginamy zasady
• Konstrukcja wielokątów foremnych
• Liczby algebraiczne w zadaniach arytmetycznych
• Liczby algebraiczne dla dziewczynek i chłopczyków
• Trójkąt Calabiego
• Największy mały sześciokąt Grahama
• Punkty okresowe
• Co dalej w ciągu?
• Bibliografia

Rozdział 8. Nie urojone liczby urojone

• Liczby urojone są rzeczywiste! Liczby zespolone są proste!
• Urzeczywistnianie liczb zespolonych
• Przesunięcia i skręcenia: geometryczne dodawanie i mnożenie
• Dlaczego tak można
• Liczby całkowite Gaussa
• Czy rozkład jest zawsze jednoznaczny?
• Dziewięć magicznych wyróżników
• Liczby de Moivre’a na okręgu
• Jedyny trójkąt wymierny
• Siedemnastokąt foremny
• Liczby hiperzespolone
• Maszyna kwaternionowa
• Liczby Cayleya
• Bibliografia

Rozdział 9. Kilka liczb przestępnych

• Liczba π
• Liczba Liouville’a
• Liczby Gregory ego
• Størmer kojarzy Gaussa z Gregorym!
• Liczby Størmera
• Logarytmy
• Potęgi liczby e
• Niezwykłe równanie Eulera
• Harmonia, ułamki i logarytmy
• Liczby harmoniczne
• Liczba Eulera-Mascheroniego
• Wzór Stirlinga
• Wielka zagadka
• Bibliografia

Rozdział 10. Liczby nieskończenie duże i nieskończenie małe

• Bagaż Sierpińskiego
• Liczby porządkowe Cantora
• Mnożenie liczb porządkowych
• Liczby kardynalne
• Liczenie kart
• Liczby nadrzeczywiste
• Gra Hackenbusha
• Nimliczby i gra Nim
• Rzędy nieskończoności
• Bibliografia

Skorowidz