Линейная алгебра и аналитическая геометрия для компьютерщиков. Часть I. Основы

Algebra liniowa i geometria analityczna dla informatyków. Część I. Podstawy algebry liniowej.

Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w

Ean:9788375836103

• ISBN: 9788375836103
• Autor: Strasburger A.Jóźwikowska A.
• Oprawa: miękka
• Rok wydania: 2023
• Format: b5
• Stron: 236

Algebra liniowa i geometria analityczna dla informatyków.

Część I. Podstawy algebry liniowej.

Spis treści

Przedmowa ... 5

1. Liczby zespolone ... 7

1.1. Wiadomości wstępne - liczby naturalne, całkowite, wymierne ... 7

1.2. Liczby rzeczywiste i działania wymierne ... 7

1.3. Liczby zespolone - podejście algebraiczne ... 10

1.4. Liczby zespolone - podejście geometryczne ... 14

1.5. Postać trygonometryczna liczby zespolonej ... 16

1.6. Potęgowanie i wzór de Moivre’a ... 19

1.7. Pierwiastkowanie w ciele liczb zespolonych ... 20

1.8. Wielomiany i ich pierwiastki ... 23

1.9. Wielomiany stopnia trzeciego i ich pierwiastki - wzory Cardano ... 28

1.10. Liczby zespolone a geometria płaszczyzny ... 30

1.11. Zadania ... 32

2. Układy równań liniowych - metoda eliminacji Gaussa ... 35

2.1. Początki, czyli czego nas uczy geometria ... 35

2.2. Układy równań liniowych - uwagi ogólne ... 37

2.3. Układy równoważne i operacje elementarne na układach ... 43

2.4. Metoda eliminacji Gaussa i twierdzenie Kroneckera-Capellego ... 46

2.5. Mechanizm rekurencji ... 51

2.6. Przykłady ... 56

2.7. Układy oznaczone i układy kwadratowe ... 58

2.8. Zadania ... 60

3. Macierze i ich algebra ... 62

3.1. Macierze - podstawowe fakty ... 62

3.2. Działania w zbiorze macierzy I. Operacje wektorowe ... 67

3.3. Algebra wektorów w przestrzeni kartezjańskiej ... 70

3.4. Działania w zbiorze macierzy II. Mnożenie macierzy ... 73

3.5. Macierze odwracalne ... 82

3.6. Operacje elementarne i mnożenie macierzy trójkątnych ... 87

3.7. Transpozycja, czyli zamiana wierszy na kolumny ... 92

3.8. Zadania ... 94

4. Przestrzenie liniowe - podstawowe własności ... 99

4.1. Przestrzenie liniowe macierzy ... 99

4.2. Ogólne pojęcie przestrzeni liniowej ... 102

4.3. Liniowe przestrzenie funkcyjne ... 104

4.4. Baza i wymiar przestrzeni liniowej ... 107

4.5. Konstrukcje baz i podprzestrzeni ... 111

4.6. Zastosowanie - twierdzenie o rzędzie macierzy ... 113

4.7. Baza przestrzeni rozwiązań układu jednorodnego ... 115

4.8. Struktura zbioru rozwiązań układu równań liniowych ... 118

4.9. Perspektywa geometryczna - rozmaitości afiniczne ... 119

4.10. Zadania ... 120

5. Odwzorowania liniowe i ich macierze ... 126

5.1. Odwzorowania liniowe przestrzeni kartezjańskich ... 126

5.2. Algebra odwzorowań i algebra macierzy ... 138

5.3. Odwzorowania liniowe ogólnych przestrzeni liniowych ... 140

5.4. Odwzorowania liniowe w perspektywie teorii układów liniowych ... 146

5.5. Podstawowe twierdzenie algebry liniowej ... 152

5.6. Zadania ... 153

6. Wyznaczniki i ich zastosowania ... 156

6.1. Wyznaczniki niskich stopni ... 156

6.2. Wyznaczniki dowolnego stopnia: podstawowe własności ... 161

6.3. Zastosowania: odwracalność macierzy i wzory Cramera ... 171

6.4. Zadania ... 176

7. Iloczyn skalarny, czyli jak mierzyć długości i kąty ... 179

7.1. Długość wektora i kąt na płaszczyźnie ... 179

7.2. Iloczyn skalarny w przestrzeni kartezjańskiej Rn ... 181

7.3. Dopełnienia ortogonalne ... 184

7.4. Bazy ortonormalne ... 188

7.5. Konstrukcja Grama-Schmidta bazy ortonormalnej ... 191

7.6. Rzut ortogonalny i ogólne rozkłady ortogonalne ... 195

7.7. Metoda równań normalnych ... 197

7.8. Zadania ... 204

A. Pojęcia i notacja teorii mnogości ... 207

A.1. Zbiory i operacje nad nimi ... 207

A.2. Ogólnie o odwzorowaniach ... 211

Odpowiedzi do zadań ... 215

Literatura ... 236